fwjТрение и и износTitle in english0000-00000000-0000AGU10.32864/0202-4977-2026-47-4-333-343fwj-129Research ArticleСтатьиМеханика непредельного равновесия при тренииMechanics of Non-Limiting Equilibrium at FrictionШилькоС. В.Shil’koS. V.

ул. Кирова, 32а, г. Гомель 246050

Kirova St., 32a, Gomel 246050

shilko_mpri@mail.ruИнститут механики металлополимерных систем имени В.А. Белого НАН БеларусиБеларусьV.A. Belyi Metal-Polymer Research Institute of National Academy of Sciences of BelarusBelarus202601102026474333343Copyright © AGU, 20262026AGUAGUhttps://fwj.ejournal.by/jour/about/submissions#copyrightNoticehttps://fwj.ejournal.by/jour/article/view/129

Показана актуальность изучения существенно нелинейных процессов контактного взаимодействия деформируемых тел в условиях непредельного равновесия при переходе от состояния покоя к скольжению. Дан краткий обзор результатов изучения явления предварительного смещения. С позиций контактной механики обсуждаются особенности теоретического анализа напряженно-деформированного состояния и изнашивания в контакте при сжатии и сжатии со сдвигом. Представлен эффективный метод решения соответствующих контактных задач, основанный на теории вариационных неравенств и граничноэлементной дискретизации области контакта.

Сделан вывод о том, что рассмотрение фрикционного контакта в виде неоднородной области поверхности, состоящей из зон проскальзывания и участков сцепления, в которых тангенциальные перемещения равны нулю, имеет несомненное фундаментальное значение для трибологии и механики деформируемого твёрдого тела. Это выражается в корректном разрешении известного парадокса Пэнлеве, механико-математической интерпретации явлений непредельного равновесия при трении и расчётном прогнозировании новых эффектов контактного взаимодействия тел из метаматериалов с особыми (программируемыми) деформационными свойствами.

Практическая значимость исследования состоит в возможности расчётной оптимизации фрикционных передач и условно-неподвижных соединений; уточнении результатов, получаемых в ходе механических испытаний материалов; совершенствовании технологических методов обработки материалов давлением (ковки, прокатки, штамповки и прессования), а также прогнозировании геомеханических (сейсмических) событий, для которых характерно состояние непредельного равновесия при трении.

The relevance of studying the highly nonlinear processes of contact interaction between deformable bodies under conditions of non-limit equilibrium during the transition from a state of rest to sliding is demonstrated. A brief review of the results from studies on the phenomenon of pre-sliding displacement is provided. From the perspective of contact mechanics, the peculiarities of theoretical analysis of stress-strain state and wear under compression and compression with shear are discussed. An efficient method for solving the corresponding contact problems, based on the theory of variational inequalities and boundary element discretization of the contact region, is presented.

It is concluded that considering frictional contact as an inhomogeneous surface region consisting of slip zones and stick ones, where tangential displacements are zero, has undoubted fundamental importance for the tribology and mechanics of deformable solids. This is expressed in the correct resolution of the wellknown Painlevé paradox, the mechanical and mathematical interpretation of phenomena of limit equilibrium at friction and in calculated predicting of new effects of contact interaction between bodies made of metamaterials with special (programmable) deformation properties.

The practical significance of this research consists in the possibility of computer-aided design optimization of friction gears and conditionally fixed connections; refining the results obtained during mechanical testing of materials; improving technological methods of material forming (forging, rolling, stamping, and pressing); as well as predicting geomechanical (seismic) events, which are characterized by a state of limit equilibrium in friction.

трениепарадокс Пэнлевенепредельное равновесиепредварительное смещениефреттинг-изнашиваниемеханические испытанияконтактные напряжениязоны сцепления и проскальзыванияконтактные задачивариационные принципыметоды граничных и конечных элементовfrictionPainlevé paradoxnon-limiting equilibriumpre-sliding displacementfretting wearmechanical testscontact stressesstick and slippage zonescontact problemsvariational principlesboundary and finite elements methodsReferencesАбрамян Б.Л., Араманович И.Г. Развитие теории контактных задач в СССР / под ред. Л.А. Галина. — М.: Наука. — 1976Abramyan B.L., Aramanovich I.G. Razvitie teorii kontaktnykh zadach v SSSR [Development of the theory of contact problems in the USSR]. — Moscow: Nauka. — 1976 (in Russian)Popov V. Contact Mechanics and Friction: Physical Principles and Applications. — Berlin: Springer. — 2017Popov V. Contact Mechanics and Friction: Physical Principles and Applications. — Berlin: Springer. — 2017Левин А.А. Численное решение квазистатических контактных задач с сухим трением // Библ. обзор. — Горький. — 1987. — Деп. в ВИНИТИ 18.03.87, № 2567Levin A.A. Chislennoe reshenie kvazistaticheskikh kontaktnykh zadach s sukhim treniem [Numerical solution of quasi-static contact problems with dry friction]. — Moscow, Vserossiyskiy institut nauchnoy i tekhnicheskoy informatsii RAN. — 1987 (in Russian)Chen Fuh-Kuo and Chen Cheng-Jun. On the Nonuniform Deformation of the Cylinder Compression Test // Trans. ASME. Journal Engineering Materials and Technologies. — 2000 (122), no. 2, 192—197Chen Fuh-Kuo and Chen Cheng-Jun. On the Nonuniform Deformation of the Cylinder Compression Test // Trans. ASME. Journal Engineering Materials and Technologies. — 2000 (122), no. 2, 192—197Шилько С.В. О роли трения в механических испытаниях материалов // Трение и износ. — 2002 (23), № 3, 342—347Shilko S.V. Role of Friction in Mechanical Tests of Materials // Journal of Friction and Wear. — 2002 (23), no. 3, 98—103Ollerton E. and Pigot P. Experimental Determination of Adhesion and Slip // J. Strain Analysis. — 1970 (5), no. 3, 193—199Ollerton E. and Pigot P. Experimental Determination of Adhesion and Slip // J. Strain Analysis. — 1970 (5), no. 3, 193—199Моссаковский В.И., Петров В.В. О влиянии трения на микроскольжение // ДАН СССР. — 1976 (231), № 3, 603—606Mossakovskiy V.I., Petrov V.V. O vliyanii treniya na mikroskol'zhenie [On the influence of friction on microsliding] // Proc. of the USSR Academy of Sciences. — 1976 (231), no. 3, 603—606 (in Russian)Коэн, Вильшез, Плей, Годе. Перемещения и напряжения внутри третьего тела и явления, связанные с прилеганием контактирующих тел // Проблемы трения и смазки. — 1983 (105), № 4, 39—49Cohen, Vilchez, Pley, Gode. Peremeshcheniya i napryazheniya vnutri tret'ego tela i yavleniya, svyazannye s prileganiem kontaktiruyushchikh tel [Displacements and stresses inside the third body and phenomena associated with the adjacency of contacting bodies] // Journal of Engineening for Industry. Transactions of the ASME. Series B. — 1983 (105), no. 4, 39—49 (in Russian)Sahli R., Pallares G., Ducottet C., Ben Ali I.E., Al Akhrass S., Guibert M., and Scheibert J. Evolution of Real Contact Area under Shear and the Value of Static Friction of Soft Materials // Proc. of the National Academy of Sciences of the USA. — 2018 (115), no. 3, 471—476. DOI: https://doiff10.1073/pnas.1706434115ff.ffhal-02010379fSahli R., Pallares G., Ducottet C., Ben Ali I.E., Al Akhrass S., Guibert M., and Scheibert J. Evolution of Real Contact Area under Shear and the Value of Static Friction of Soft Materials // Proc. of the National Academy of Sciences of the USA. — 2018 (115), no. 3, 471—476. DOI: https://doiff10.1073/pnas.1706434115ff.ffhal-02010379fБогданович П.Н. Предварительное смещение в металлополимерном фрикционном контакте // Доклады НАН Беларуси. — 2005 (49), № 6, 106—109Bogdanovich P.N. Predvaritel'noe smeshchenie v metallopolimernom friktsionnom kontakte [Preliminary displacement in metal-polymer friction contact] // Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus. — 2005 (49), no. 6, 106—109 (in Russian)Шилько С.В., Кухорев Л.П. Методика и результаты исследования металлополимерного контактного сопряжения в условиях предварительного смещения // Трение и износ. — 2007 (28), № 1, 101—109Shil’ko S.V. and Kukhorev L.P. Method and Results of Study of Metal-Polymer Contact Joint at Pre-Sliding Stage // Journal of Friction and Wear. — 2007 (28), no. 1, 105—113. DOI: https://doi.org/10.3103/S1068366607010114Wang Y., Li J., Wang L., Hu C., Shen H., and Liu J. Semi-Analytical Study of Microscopic Two-Dimensional Partial Slip Contact Problem within the Framework of Couple Stress Elasticity: Cylindrical Indenter // Int. J. Solids Struct. — 2018 (138), no. 3, 76—86. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2017.12.030Wang Y., Li J., Wang L., Hu C., Shen H., and Liu J. Semi-Analytical Study of Microscopic TwoDimensional Partial Slip Contact Problem within the Framework of Couple Stress Elasticity: Cylindrical Indenter // Int. J. Solids Struct. — 2018 (138), no. 3, 76—86. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2017.12.030Sachdeva T.D. and Ramakrishnan С.V. A Finite Element Solution for the Two-Dimensional Elastic Contact Problems with Friction // J. for Num. Meth. in Eng. — 1981 (17), no. 8, 1257—1271Sachdeva T.D. and Ramakrishnan С.V. A Finite Element Solution for the Two-Dimensional Elastic Contact Problems with Friction // J. for Num. Meth. in Eng. — 1981 (17), no. 8, 1257—1271Петров В.В., Гриневский А.Г., Сладковский А.В. Микроскольжение при сдвиге контактирующих поверхностей // Трение и износ. — 1985 (6), № 3, 396—403Petrov V.V., Grinevskiy A.G., and Sladkovskiy A.V. Microsliding During Shear of Contacting Surfaces // Journal of Friction and Wear. — 1985 (6), no. 3, 396—403 (in Russian)Dong Q., Chen Z., Bai X., Wei J., and Zhou K. A Model for Fretting Contact of Layered Materials with Interfacial Cracks // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. — 2022 (122), 103611. DOI: https://doi.org/10.1016/j.tafmec.2022.103611Dong Q., Chen Z., Bai X., Wei J., and Zhou K. A Model for Fretting Contact of Layered Materials with Interfacial Cracks // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. — 2022 (122), 103611. DOI: https://doi.org/10.1016/j.tafmec.2022.103611Кравчук А.С. К теории контактных задач с учетом трения на поверхности соприкосновения // Прикладная математика и механика. — 1980 (44), № 1. 122—129Kravchuk A.S. K teorii kontaktnykh zadach s uchetom treniya na poverkhnosti soprikosnoveniya [On the theory of contact problems taking into account friction on the contact surface] // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. — 1980 (44), no. 1, 122—129 (in Russian)Шилько С.В. Расчет параметров упругого контакта при наличии трения и износа // в кн. Прикладная механика слоистых тел из композитов: Плоские контактные задачи / В.В. Можаровский, В.Е. Старжинский. — Минск: Наука и техника. — 1988, Гл. 7, 180—204Shil'ko S.V. Raschet parametrov uprugogo kontakta pri nalichii treniya i iznosa [Calculation of elastic contact parameters in the presence of friction and wear] // in book: Prikladnaya mekhanika sloistykh tel iz kompozitov: Ploskie kontaktnye zadachi [Applied Mechanics of Layered Composite Bodies: Plane Contact Problems] / V.V. Mozharovskiy, V.E. Starzhinskiy. — Minsk: Nauka i tekhnika. — 1988, ch. 7, 180—204 (in Russian)Шилько С.В. Вариационный анализ предварительного смещения при упругом контактировании. Ч. 1: Расчет параметров НДС // Трение и износ. — 1992 (13), № 5, 795—800Shilko S.V. Variational Analysis of Preliminary Displacement at elastic contact. Part 1: Calculation of Stress-Strain State // Soviet Journal of Friction and Wear. — 1992 (13), no. 5, 28—32Крагельский И.В., Добычин М.Н., Комбалов B.C. Основы расчетов на трение и износ. — М.: Машиностроение. — 1977Kragel'skiy I.V., Dobychin M.N., Kombalov V.S. Osnovy rascheta na trenie i iznos [Fundamentals of calculations on friction and wear]. — Moscow: Mashinostroenie. — 1977 (in Russian)Burger H., Forsbach F., and Popov V. L. Boundary Element Method for Tangential Contact of a Coated Elastic Half-Space // Machines. — 2023 (11), 694. DOI: https://doi.org/10.3390/machines11070694Burger H., Forsbach F., and Popov V. L. Boundary Element Method for Tangential Contact of a Coated Elastic Half-Space // Machines. — 2023 (11), 694. DOI: https://doi.org/10.3390/machines11070694Li P., Liu T.J., and He R. Sliding Friction Contact Problem from the Perspective of the Micropolar Elasticity Theory // Acta Mechanica. Sinica. — 2025 (41), 424417, DOI: https://doi.org/10.1007/s10409-024-24417-xLi P., Liu T.J., and He R. Sliding Friction Contact Problem from the Perspective of the Micropolar Elasticity Theory // Acta Mechanica. Sinica. — 2025 (41), 424417, DOI: https://doi.org/10.1007/s10409-024-24417-x

The authors declare that there are no conflicts of interest present.